Question

¿Qué números positivos $x$ satisfacen la ecuación $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35$ ?

Which positive numbers $x$ satisfy the equation $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35?$

solo $3$ y $5$

$3$ and $5$ only

solo $3,$ $5$ y $15$

$3,$ $5$ and $15$ only

solo los números de la forma $5^n\cdot3^m,$ donde $n$ y $m$ son enteros positivos

only numbers of the form $5^n\cdot3^m,$ where $n$ and $m$ are positive integers

todos los $x\ne1$ positivos

all positive $x\ne1$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Aplica la fórmula de cambio de base a los dos logaritmos de la izquierda

Apply the change-of-base formula to both logarithms on the left

Pista grande:

Después de cancelar, recuerda qué base positiva no está permitida

After cancellation, remember which positive base is forbidden

Solución:

Para $x\gt0,\ x\ne1,$ el cambio de base convierte el lado izquierdo en $\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.$ Al cancelar $\log x$ queda $\frac{\log5}{\log3}=\log_35.$ La expresión no está definida en $x=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $x\gt0,\ x\ne1,$ change of base makes the left side $\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.$ Canceling $\log x$ leaves $\frac{\log5}{\log3}=\log_35.$ The expression is undefined at $x=1.$

Therefore, the correct answer is D.

1975 AMC 12 Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años