Sea f(x)=|x-2|+|x-4| -|2x-6|, para 2≤ x\le8. La suma de los valores máximo y mínimo de f(x) es

1982 AMC 12 Problema 19 — Solución

1982 AMC 12 Problema 19

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19.

Sea $f(x)=|x-2|+|x-4|$ $-|2x-6|,$ para $2\le x\le8.$ La suma de los valores máximo y mínimo de $f(x)$ es

Let $f(x)=|x-2|+|x-4|$ $-|2x-6|,$ for $2\le x\le8.$ The sum of the largest and smallest values of $f(x)$ is

$1$

$2$

$4$

$6$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:valor absoluto función optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Divide el intervalo en los ceros $2,$ $3,$ y $4$

Break the interval at the zeros $2,$ $3,$ and $4$

Pista grande:

Simplifica $f(x)$ en cada intervalo resultante

Simplify $f(x)$ on each resulting interval

Solución:

En $[2,3],$ se tiene $f(x)=2x-4;$ en $[3,4],$ se tiene $f(x)=8-2x;$ y en $[4,8],$ se tiene $f(x)=0.$ Así, el mínimo es $0$ y el máximo es $2,$ cuya suma es $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On $[2,3],$ $f(x)=2x-4;$ on $[3,4],$ $f(x)=8-2x;$ and on $[4,8],$ $f(x)=0.$ Thus the minimum is $0$ and the maximum is $2,$ whose sum is $2.$

Therefore, the correct answer is B.

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