Question

Un círculo con centro $O$ es tangente a los ejes coordenados y a la hipotenusa del triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ $ABC$ , como se muestra, donde $AB=1.$ Redondeado a la centésima más cercana, ¿cuál es el radio del círculo?

A circle with center $O$ is tangent to the coordinate axes and to the hypotenuse of the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle $ABC$ as shown, where $AB=1.$ To the nearest hundredth, what is the radius of the circle?

$2.18$

$2.24$

$2.31$

$2.37$

$2.41$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes right triangles

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Si el radio del círculo es $r$ , entonces $O=(r,r)$ en las coordenadas mostradas

If the circle radius is $r$ , then $O=(r,r)$ in the displayed coordinates

Pista grande:

Escribe la ecuación de la recta que contiene la hipotenusa del triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ e iguala su distancia desde $O$ a $r$

Write the hypotenuse line of the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle and set its distance from $O$ equal to $r$

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(1,0)$ y $C=(0,\sqrt3).$ La hipotenusa está en la recta $\sqrt3x+y=\sqrt3,$ y el centro del círculo es $O=(r,r).$ La tangencia da $\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.$ Para el círculo exterior mostrado, $(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,$ por lo que $r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$ $=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.$ Así, D es la respuesta correcta.

Take $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ and $C=(0,\sqrt3).$ The hypotenuse is $\sqrt3x+y=\sqrt3,$ and the circle center is $O=(r,r).$ Tangency gives $\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.$ The pictured external circle has $(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,$ so $r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$ $=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.$ Thus D is correct.

1997 AMC 12 Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años