1965 AMC 12 Problema 19

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19.

Si $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ es divisible exactamente por $x^3+3x^2+9x+3,$ el valor de $(p+q)r$ es:

If $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ is exactly divisible by $x^3+3x^2+9x+3,$ the value of $(p+q)r$ is:

$-18$

$12$

$15$

$27$

$45$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio divisibilidad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

El cociente debe ser mónico y lineal

The quotient must be monic and linear

Pista grande:

Resta $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ y compara coeficientes

Subtract $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ and compare coefficients

Solución:

Los términos principales obligan a que el cociente sea $x+1.$ Al desarrollar, $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}$ Así, $6p=12,\ 4q=12,\ r=3,$ de modo que $p=2,\ q=3$ y $(p+q)r=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The leading terms force quotient $x+1.$ Expanding, $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}$ Thus $6p=12,\ 4q=12,\ r=3,$ so $p=2,\ q=3$ and $(p+q)r=15.$

Therefore, the correct answer is C.

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