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1991 AMC 12 Problema 19

Intenta el Problema 19 del 1991 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1991 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

El triángulo ABCABC tiene un ángulo recto en C,C, AC=3,AC=3, y BC=4.BC=4. El triángulo ABDABD tiene un ángulo recto en AA y AD=12.AD=12. Los puntos CC y DD están en lados opuestos de AB.AB. La recta que pasa por DD y es paralela a ACAC corta a la prolongación de CBCB en E.E. Si DEDB=mn, \frac{DE}{DB}=\frac mn, donde mm y nn son enteros positivos coprimos, entonces m+n=m+n=

Triangle ABCABC has a right angle at C,C, AC=3,AC=3, and BC=4.BC=4. Triangle ABDABD has a right angle at AA and AD=12.AD=12. Points CC and DD are on opposite sides of AB.AB. The line through DD parallel to ACAC meets CBCB extended at E.E. If DEDB=mn, \frac{DE}{DB}=\frac mn, where mm and nn are relatively prime positive integers, then m+n=m+n=

2525

128128

153153

243243

256256

Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticaperpendicular vectorsdistance
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:

Coloca C=(0,0),C=(0,0), A=(0,3),A=(0,3), y B=(4,0)B=(4,0)

Place C=(0,0),C=(0,0), A=(0,3),A=(0,3), and B=(4,0)B=(4,0)

Pista grande:

Halla DD mediante un vector de longitud 1212 perpendicular a AB→\overrightarrow{AB}

Find DD by using a length-1212 vector perpendicular to AB→\overrightarrow{AB}

Solución:

Coloca C=(0,0),C=(0,0), A=(0,3),A=(0,3), y B=(4,0).B=(4,0). Como AB→=(4,−3),\overrightarrow{AB}=(4,-3), el vector de longitud 1212, perpendicular a AB→\overrightarrow{AB} y dirigido en sentido opuesto a CC, es (365,485).(\frac{36}{5},\frac{48}{5}). Por tanto, D=(365,635).D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}). Como DE∥AC,DE\parallel AC, tenemos E=(365,0),E=(\frac{36}{5},0), de modo que DE=635DE=\frac{63}{5} y DB=13.DB=13. Entonces DEDB=63513=6365. \frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}. Por lo tanto, m+n=63+65=128.m+n=63+65=128.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place C=(0,0),C=(0,0), A=(0,3),A=(0,3), and B=(4,0).B=(4,0). Since AB→=(4,−3),\overrightarrow{AB}=(4,-3), the length-1212 vector perpendicular to AB→\overrightarrow{AB} and directed away from CC is (365,485).(\frac{36}{5},\frac{48}{5}). Hence D=(365,635).D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}). Since DE∥AC,DE\parallel AC, we have E=(365,0),E=(\frac{36}{5},0), so DE=635DE=\frac{63}{5} and DB=13.DB=13. Therefore DEDB=63513=6365. \frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}. Thus m+n=63+65=128.m+n=63+65=128.

Thus the correct answer is B.

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