Question

¿Cuál es el menor entero mayor que $(\sqrt3+\sqrt2)^6$ ?

What is the smallest integer larger than $(\sqrt3+\sqrt2)^6?$

$972$

$971$

$970$

$969$

$968$

Respuesta: C

Conceptos:radical teorema del binomio funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Empareja la expresión con su conjugada $(\sqrt3-\sqrt2)^6$

Pair the expression with its conjugate $(\sqrt3-\sqrt2)^6$

Pista grande:

Su suma es un entero, mientras que el término conjugado está estrictamente entre $0$ y $1$

Their sum is an integer, while the conjugate term lies strictly between $0$ and $1$

Solución:

Sean $\alpha=\sqrt3+\sqrt2$ y $\beta=\sqrt3-\sqrt2.$ Al sumar sus sextas potencias se cancelan todos los términos radicales impares: $\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}$ Como $0\lt\beta\lt1,$ tenemos $969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.$ Por tanto, el menor entero mayor es $970.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\alpha=\sqrt3+\sqrt2$ and $\beta=\sqrt3-\sqrt2.$ Adding their sixth powers cancels all odd radical terms: $\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}$ Since $0\lt\beta\lt1,$ we have $969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.$ Thus the smallest larger integer is $970.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años