Question

Un punto $P$ está en el mismo plano que un cuadrado dado de lado $1.$ Sean $A,$ $B,$ $C$ y $D$ los vértices del cuadrado, tomados en sentido antihorario. Además, sean $u,$ $v$ y $w$ las distancias respectivas de $P$ a $A,$ $B$ y $C.$ ¿Cuál es la mayor distancia posible de $P$ a $D$ si $u^2+v^2=w^2$ ?

A point $P$ lies in the same plane as a given square of side $1.$ Let the vertices of the square, taken counterclockwise, be $A,$ $B,$ $C$ and $D.$ Also, let the distances from $P$ to $A,$ $B$ and $C,$ respectively, be $u,$ $v$ and $w.$ What is the greatest distance that $P$ can be from $D$ if $u^2+v^2=w^2?$

$1+\sqrt2$

$2\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$3\sqrt2$

$3+\sqrt2$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica círculo fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Coloca $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ y $C=(0,1)$

Place $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ and $C=(0,1)$

Pista grande:

Sustituye $P=(x,y)$ en la ecuación de las distancias y completa el cuadrado

Substitute $P=(x,y)$ into the distance equation and complete the square

Solución:

Coloca $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ y $C=(0,1),$ con $P=(x,y).$ Entonces $\begin{aligned} &(x-1)^2+y^2\\ &\quad+(x-1)^2+(y-1)^2\\ &=x^2+(y-1)^2, \end{aligned}$ que se simplifica a $(x-2)^2+y^2=2.$ Así, $P$ está en un círculo cuyo centro está a $2$ unidades de $D$ y cuyo radio es $\sqrt2.$ Su mayor distancia a $D$ es $2+\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ and $C=(0,1),$ with $P=(x,y).$ Then $\begin{aligned} &(x-1)^2+y^2\\ &\quad+(x-1)^2+(y-1)^2\\ &=x^2+(y-1)^2, \end{aligned}$ which simplifies to $(x-2)^2+y^2=2.$ Thus $P$ lies on a circle centered $2$ units from $D$ with radius $\sqrt2.$ Its greatest distance from $D$ is $2+\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años