Question

Considera la sucesión definida recursivamente por $t_1=1$ y, para $n\gt1,$ por $t_n=1+t_{\frac{n}{2}}$ cuando $n$ es par y por $t_n=\frac{1}{t_{n-1}}$ cuando $n$ es impar. Dado que $t_n=\frac{19}{87},$ la suma de los dígitos de $n$ es

Consider the sequence of numbers defined recursively by $t_1=1$ and for $n\gt1$ by $t_n=1+t_{\frac{n}{2}}$ when $n$ is even and by $t_n=\frac{1}{t_{n-1}}$ when $n$ is odd. Given that $t_n=\frac{19}{87},$ the sum of the digits of $n$ is

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

Respuesta: A

Conceptos:recursive sequence inverse recursion rational numbers

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Los valores mayores que $1$ provienen de índices pares; los valores entre $0$ y $1$ provienen de índices impares

Values greater than $1$ come from even indices; values between $0$ and $1$ come from odd indices

Pista grande:

Invierte la recurrencia: resta $1$ a los valores mayores que $1$ y toma el recíproco de los valores menores que $1$

Reverse the recursion by subtracting $1$ from values above $1$ and taking reciprocals of values below $1$

Solución:

Sea $N(r)$ el índice en el que aparece el valor $r$ . Al invertir la recurrencia, se obtiene $N(r)=2N(r-1)$ para $r\gt1,$ y $N(r)=N(\frac{1}{r})+1$ para $0\lt r\lt1.$

Partiendo de $N(1)=1,$ el uso repetido de estas relaciones da $N(2)=2,$ $N(\frac{1}{2})=3,$ $N(\frac{3}{2})=6,$ y $N(\frac{2}{3})=7.$ Al continuar, se obtiene $N(\frac{5}{3})=14,$ $N(\frac{8}{3})=28,$ $N(\frac{3}{8})=29,$ y $N(\frac{11}{8})=58.$

Luego, $N(\frac{8}{11})=59,$ $N(\frac{19}{11})=118,$ $N(\frac{11}{19})=119,$ $N(\frac{30}{19})=238,$ $N(\frac{49}{19})=476,$ y $N(\frac{68}{19})=952.$ Finalmente, $N(\frac{87}{19})=1904$ y $N(\frac{19}{87})=1905.$ Así, $n=1905,$ cuya suma de dígitos es $1+9+0+5=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $N(r)$ be the index at which the value $r$ occurs. Reversing the recursion gives $N(r)=2N(r-1)$ for $r\gt1,$ and $N(r)=N(\frac{1}{r})+1$ for $0\lt r\lt1.$

Starting with $N(1)=1,$ repeated use gives $N(2)=2,$ $N(\frac{1}{2})=3,$ $N(\frac{3}{2})=6,$ and $N(\frac{2}{3})=7.$ Continuing gives $N(\frac{5}{3})=14,$ $N(\frac{8}{3})=28,$ $N(\frac{3}{8})=29,$ and $N(\frac{11}{8})=58.$

Next, $N(\frac{8}{11})=59,$ $N(\frac{19}{11})=118,$ $N(\frac{11}{19})=119,$ $N(\frac{30}{19})=238,$ $N(\frac{49}{19})=476,$ and $N(\frac{68}{19})=952.$ Finally, $N(\frac{87}{19})=1904$ and $N(\frac{19}{87})=1905.$ Thus $n=1905,$ whose digit sum is $1+9+0+5=15.$

Therefore the correct answer is A.

1987 AMC 12 Problema 29

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años