Question

Un número real positivo se llama especial si tiene una representación decimal formada únicamente por los dígitos $0$ y $7.$ Por ejemplo, $\frac{700}{99}=7.07=7.070707\ldots$ y $77.007$ son números especiales. ¿Cuál es el menor $n$ tal que $1$ puede escribirse como suma de $n$ números especiales?

Call a positive real number special if it has a decimal representation that consists entirely of digits $0$ and $7.$ For example, $\frac{700}{99}=7.07=7.070707\ldots$ and $77.007$ are special numbers. What is the smallest $n$ such that $1$ can be written as a sum of $n$ special numbers?

$7$

$8$

$9$

$10$

$1$ no puede representarse como suma de una cantidad finita de números especiales

$1$ cannot be represented as a sum of finitely many special numbers

Respuesta: B

Conceptos:decimal expansions valor posicional construction

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Si $a_k$ sumandos tienen un $7$ en la posición decimal $k$ , divide la suma por $7$

If $a_k$ summands have $7$ in decimal place $k$ , divide the sum by $7$

Pista grande:

Compara los conteos de dígitos resultantes con el decimal periódico de $\frac{1}{7}$ , y luego busca una construcción periódica de seis dígitos

Compare the resulting digit counts with the repeating decimal for $\frac{1}{7}$ , then seek a six-digit repeating construction

Solución:

Supón que $1$ es la suma de $n$ números especiales, y sea $a_k$ la cantidad de sumandos que tienen un $7$ en la posición decimal $k$ . Al dividir por $7$ , se obtiene $\begin{aligned} \frac17&=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots\\ &=0.\overline{142857}. \end{aligned}$ Para $n\le9,$ cada $a_k$ es un dígito, por lo que $a_1,a_2,\ldots=1,4,2,8,5,7,\ldots;$ de aquí $n\ge8.$ Ocho bastan porque los decimales especiales periódicos representados por $\begin{aligned} 700700+2(070707)\\ {}+2(077777)\\ {}+3(000777)&=999999. \end{aligned}$ suman $1.$ Por lo tanto, el mínimo es $8,$ y B es la respuesta correcta.

Suppose $1$ is a sum of $n$ special numbers, and let $a_k$ count summands having a $7$ in the $k$ th decimal place. Dividing by $7$ gives $\begin{aligned} \frac17&=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots\\ &=0.\overline{142857}. \end{aligned}$ For $n\le9,$ each $a_k$ is a digit, so $a_1,a_2,\ldots=1,4,2,8,5,7,\ldots;$ hence $n\ge8.$ Eight suffice because the repeating special decimals represented by $\begin{aligned} 700700+2(070707)\\ {}+2(077777)\\ {}+3(000777)&=999999. \end{aligned}$ Their sum is $1.$ Therefore the minimum is $8,$ and B is correct.

1997 AMC 12 Problema 29

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años