Question

$AB$ es un diámetro de un círculo. Se trazan las tangentes $AD$ y $BC$ de modo que $AC$ y $BD$ se corten en un punto del círculo. Si $AD=a$ y $BC=b,$ $a\ne b,$ el diámetro del círculo es:

$AB$ is a diameter of a circle. Tangents $AD$ and $BC$ are drawn so that $AC$ and $BD$ intersect in a point on the circle. If $AD=a$ and $BC=b,$ $a\ne b,$ the diameter of the circle is:

$\lvert a-b\rvert$

$\dfrac12(a+b)$

$\sqrt{ab}$

$\dfrac{ab}{a+b}$

$\dfrac12\cdot\dfrac{ab}{a+b}$

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente semejanza ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea $P$ el punto de intersección sobre el círculo; entonces $\angle APB=90^\circ$

Let the intersection point on the circle be $P$ ; then $\angle APB=90^\circ$

Pista grande:

Usa las tangentes paralelas para comparar los triángulos rectángulos $ADB$ y $BCA$

Use the parallel tangents to compare right triangles $ADB$ and $BCA$

Solución:

Sea $d=AB$ el diámetro. Como la intersección de $AC$ y $BD$ está sobre el círculo, esas dos rectas son perpendiculares por el teorema de Tales. Además, las tangentes $AD$ y $BC$ son paralelas. Los triángulos rectángulos resultantes $ADB$ y $BCA$ son semejantes, por lo que $\frac da=\frac bd.$ De aquí, $d^2=ab$ y $d=\sqrt{ab}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d=AB$ be the diameter. Since the intersection of $AC$ and $BD$ lies on the circle, those two lines are perpendicular by Thales’ theorem. Also the tangents $AD$ and $BC$ are parallel. The resulting right triangles $ADB$ and $BCA$ are similar, so $\frac da=\frac bd.$ Hence $d^2=ab$ and $d=\sqrt{ab}.$

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años