1998 AMC 12 Problema 29
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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
29.
Un punto del plano se llama punto reticular si tanto como son enteros. El área del mayor cuadrado que contiene exactamente tres puntos reticulares en su interior es la más cercana a
A point in the plane is called a lattice point if both and are integers. The area of the largest square that contains exactly three lattice points in its interior is closest to
Respuesta: D
Pista pequeña:
Tres puntos reticulares interiores colineales obligan a que haya un cuarto; usa un triángulo reticular no colineal mínimo
Three collinear interior lattice points force a fourth, so use a smallest noncollinear lattice triangle
Pista grande:
En un cuadrado máximo, los lados opuestos quedan fijados por puntos reticulares cercanos; compara su separación
At a maximal square, opposite sides are pinned by nearby lattice points; compare their separation
Solución:
Basta encerrar los tres puntos reticulares no colineales En una colocación máxima, dos lados opuestos quedan fijados por puntos reticulares vecinos; la mayor separación posible es la distancia entre las rectas paralelas que pasan por y Por tanto, el área es a lo sumo Este valor se alcanza con el cuadrado limitado por Su área es y contiene exactamente los tres puntos indicados en su interior. Así, la respuesta correcta es D.
It suffices to enclose the three noncollinear lattice points In a maximal placement, two opposite sides are pinned by neighboring lattice points; the greatest possible separation is the distance between parallel lines through and Hence the area is at most This is attained by the square bounded by Its area is and exactly the three stated lattice points lie inside. Thus D is correct.
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