Question

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia de radio $200\sqrt{2}.$ Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud $200.$ ¿Cuál es la longitud de su cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of its fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

Solución:

Sea $\theta$ el ángulo central que subtiende un lado de longitud $200,$ con radio $R=200\sqrt2.$ Por la ley de cosenos en el triángulo isósceles desde el centro, $\begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered}$ así que $\cos\theta=\dfrac34.$

El cuarto lado subtiende el ángulo central $3\theta,$ y $\begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered}$ El cuadrado de su longitud es $\begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered}$ así que el cuarto lado es $500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $\theta$ be the central angle subtending a side of length $200,$ with radius $R=200\sqrt2.$ By the law of cosines on the isosceles triangle from the center, $\begin{gathered} 200^2=2R^2(1-\cos\theta)\\ =160000(1-\cos\theta), \end{gathered}$ so $\cos\theta=\dfrac34.$

The fourth side subtends the central angle $3\theta,$ and $\begin{gathered} \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =4\cdot\dfrac{27}{64}-\dfrac94\\ =-\dfrac{9}{16}. \end{gathered}$ Its length squared is $\begin{gathered} 2R^2(1-\cos 3\theta)\\ =160000\left(1+\dfrac{9}{16}\right)\\ =160000\cdot\dfrac{25}{16}\\ =250000, \end{gathered}$ so the fourth side is $500.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años