Question

Los primeros $2007$ enteros positivos se escriben cada uno en base $3.$ ¿Cuántas de estas representaciones en base $3$ son capicúas? (Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.)

The first $2007$ positive integers are each written in base $3.$ How many of these base- $3$ representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)

$100$

$101$

$102$

$103$

$104$

Solución:

Un capicúa queda determinado por su primera mitad. Contando los capicúas en base $3$ por longitud se obtienen $2$ de longitud $1$ o $2,$ $6$ de longitud $3$ o $4,$ $18$ de longitud $5$ o $6,$ y $54$ de longitud $7.$

Eso suma $2+2+6+6+18+18$ $+54=106$ capicúas con a lo sumo $7$ dígitos. Como $2007=2202100_3,$ los capicúas de $7$ dígitos mayores que él son $2210122,$ $2211122,$ $2212122,$ $2220222,$ $2221222$ y $2222222,$ que son $6$ de ellos.

Por lo tanto, el conteo es $106-6=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A palindrome is fixed by its first half. Counting base- $3$ palindromes by length gives $2$ of length $1$ or $2,$ $6$ of length $3$ or $4,$ $18$ of length $5$ or $6,$ and $54$ of length $7.$

That totals $2+2+6+6+18+18$ $+54=106$ palindromes with at most $7$ digits. Since $2007=2202100_3,$ the $7$ -digit palindromes larger than it are $2210122,$ $2211122,$ $2212122,$ $2220222,$ $2221222,$ and $2222222,$ which is $6$ of them.

Therefore the count is $106-6=100.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años