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2007 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2007 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Los primeros 20072007 enteros positivos se escriben cada uno en base 3.3. ¿Cuántas de estas representaciones en base 33 son capicúas? (Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.)

The first 20072007 positive integers are each written in base 3.3. How many of these base-33 representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)

100100

101101

102102

103103

104104

Respuesta: A
Conceptos:base numéricapalíndromoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:

Cuenta los capicúas en base 33 según su número de dígitos; nota que 36=729<2007<2187=373^6=729\lt2007\lt2187=3^7.

Count base-33 palindromes by their number of digits; note 36=729<2007<2187=373^6=729\lt2007\lt2187=3^7

Pista grande:

Suma todos los capicúas con hasta 77 dígitos, luego quita los de 77 dígitos que exceden 2007=220210032007=2202100_3.

Total all palindromes with up to 77 digits, then remove the 77-digit ones exceeding 2007=220210032007=2202100_3

Solución:

Un capicúa queda determinado por su primera mitad. Contando los capicúas en base 33 por longitud se obtienen 22 de longitud 11 o 2,2, 66 de longitud 33 o 4,4, 1818 de longitud 55 o 6,6, y 5454 de longitud 7.7.

Eso suma 2+2+6+6+18+182+2+6+6+18+18 +54=106+54=106 capicúas con a lo sumo 77 dígitos. Como 2007=22021003,2007=2202100_3, los capicúas de 77 dígitos mayores que él son 2210122,2210122, 2211122,2211122, 2212122,2212122, 2220222,2220222, 2221222,2221222, y 2222222,2222222, que son 66 de ellos.

Por lo tanto, el conteo es 106−6=100.106-6=100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A palindrome is fixed by its first half. Counting base-33 palindromes by length gives 22 of length 11 or 2,2, 66 of length 33 or 4,4, 1818 of length 55 or 6,6, and 5454 of length 7.7.

That totals 2+2+6+6+18+182+2+6+6+18+18 +54=106+54=106 palindromes with at most 77 digits. Since 2007=22021003,2007=2202100_3, the 77-digit palindromes larger than it are 2210122,2210122, 2211122,2211122, 2212122,2212122, 2220222,2220222, 2221222,2221222, and 2222222,2222222, which is 66 of them.

Therefore the count is 106−6=100.106-6=100.

Thus, the correct answer is A.

Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

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