Question

¿Cuántos enteros positivos $n$ satisfacen

$\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recuerda que $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero que no supera a $x.$ )

How many positive integers $n$ satisfy

$\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recall that $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

$2$

$4$

$6$

$30$

$32$

Solución:

El lado derecho es un entero, así que sea $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.$ Entonces $n = 70k - 1000,$ y $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ requiere $k^2 \le n \lt (k + 1)^2.$

La cota inferior $k^2 \le 70k - 1000$ da $k^2 - 70k + 1000 \le 0,$ es decir $20 \le k \le 50.$ La cota superior $70k - 1000 \lt (k + 1)^2$ da $k^2 - 68k + 1001 \gt 0,$ es decir $k \le 21$ o $k \ge 47.$

Intersecando, $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},$ lo que da $6$ valores de $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The right side is an integer, so let $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.$ Then $n = 70k - 1000,$ and $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ requires $k^2 \le n \lt (k + 1)^2.$

The lower bound $k^2 \le 70k - 1000$ gives $k^2 - 70k + 1000 \le 0,$ i.e. $20 \le k \le 50.$ The upper bound $70k - 1000 \lt (k + 1)^2$ gives $k^2 - 68k + 1001 \gt 0,$ i.e. $k \le 21$ or $k \ge 47.$

Intersecting, $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},$ giving $6$ values of $n.$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años