Question

Sea $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ ¿Cuál de los siguientes polinomios divide a $P(x)$ ?

Let $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ Which of the following polynomials divides $P(x)?$

$x^2-x+1$

$x^2+x+1$

$x^4+1$

$x^6-x^3+1$

$x^6+x^3+1$

Respuesta: E

Conceptos:raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Un divisor $D(x)$ funciona si y solo si toda raíz $\zeta$ de $D$ satisface $\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$

A divisor $D(x)$ works iff every root $\zeta$ of $D$ satisfies $\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$

Pista grande:

Para $x^6+x^3+1$ las raíces son las raíces $9$ -ésimas primitivas de la unidad, así que $\zeta^3$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad

For $x^6+x^3+1$ the roots are primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^3$ is a primitive cube root of unity

Solución:

Si $\zeta$ es una raíz de un divisor, entonces se requiere $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ .

Las raíces de $x^6+x^3+1$ son las raíces $9$ -ésimas primitivas de la unidad, así que $\zeta^9=1.$ Reduciendo los exponentes módulo $9,$ $2022\equiv6$ y $1011\equiv3,$ lo que da $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Aquí $\omega=\zeta^3$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, así que esto es igual a $\omega^2+\omega+1=0.$

Las otras cuatro opciones fallan: sustituir sus raíces produce valores no nulos (por ejemplo, las raíces cúbicas primitivas de la unidad dan $P=3$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $\zeta$ is a root of a divisor, then $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ is required.

The roots of $x^6+x^3+1$ are the primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^9=1.$ Reducing exponents modulo $9,$ $2022\equiv6$ and $1011\equiv3,$ giving $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Here $\omega=\zeta^3$ is a primitive cube root of unity, so this equals $\omega^2+\omega+1=0.$

The other four options fail: substituting their roots yields nonzero values (for instance, the primitive cube roots of unity give $P=3$ ).

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años