Question

Los triángulos $ABC$ y $ABD$ son isósceles, con $AB=AC=BD,$ y $\overline{BD}$ corta a $\overline{AC}$ en $E.$ Si $\overline{BD}\perp\overline{AC},$ entonces $\angle C+\angle D$ es

Triangles $ABC$ and $ABD$ are isosceles with $AB=AC=BD,$ and $\overline{BD}$ intersects $\overline{AC}$ at $E.$ If $\overline{BD}\perp\overline{AC},$ then $\angle C+\angle D$ is

$115^\circ$

$120^\circ$

$130^\circ$

$135^\circ$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Respuesta: D

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Sea $\angle BAC=\alpha$ y expresa $\angle C$ usando el triángulo isósceles $ABC$

Let $\angle BAC=\alpha$ and express $\angle C$ using isosceles triangle $ABC$

Pista grande:

Usa $BD\perp AC$ para hallar el ángulo del vértice $B$ del triángulo isósceles $ABD$

Use $BD\perp AC$ to find the vertex angle at $B$ of isosceles triangle $ABD$

Solución:

Sea $\angle BAC=\alpha.$ Como $AB=AC,$ $\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$ Como $BD\perp AC,$ el ángulo entre $BA$ y $BD$ es $90^\circ-\alpha.$ En el triángulo isósceles $ABD,$ $AB=BD,$ así que sus dos ángulos de la base son $\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}$ Su suma es $135^\circ,$ así que la respuesta correcta es D.

Let $\angle BAC=\alpha.$ Since $AB=AC,$ $\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$ Because $BD\perp AC,$ the angle between $BA$ and $BD$ is $90^\circ-\alpha.$ In isosceles triangle $ABD,$ $AB=BD,$ so its two base angles are $\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}$ Their sum is $135^\circ,$ so the correct answer is D.

1996 AMC 12 Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años