Question

En el triángulo $ABC,$ $\angle CBA=72^\circ,$ $E$ es el punto medio del lado $AC,$ y $D$ es un punto del lado $BC$ tal que $2BD=DC;$ $AD$ y $BE$ se cortan en $F.$ La razón entre el área de $\triangle BDF$ y el área del cuadrilátero $FDCE$ es

In triangle $ABC,$ $\angle CBA=72^\circ,$ $E$ is the midpoint of side $AC,$ and $D$ is a point on side $BC$ such that $2BD=DC;$ $AD$ and $BE$ intersect at $F.$ The ratio of the area of $\triangle BDF$ to the area of quadrilateral $FDCE$ is

$\frac15$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac25$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas punto medio razón y proporción

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Las razones de áreas no cambian bajo una transformación afín, así que puedes usar coordenadas convenientes

Area ratios are unchanged by an affine transformation, so convenient coordinates may be used

Pista grande:

Halla la razón $AF:FD$ y luego compara los triángulos pequeños con $\triangle ABC$

Find the ratio $AF:FD$ , then compare the small triangles with $\triangle ABC$

Solución:

Escala el área total de $\triangle ABC$ a $1.$ Como $BD:DC=1:2,$ tenemos $[ABD]=\frac{1}{3}$ y $[ACD]=\frac{2}{3}.$ Las condiciones de punto medio y trisección dan $AF:FD=3:1.$ Por lo tanto, $[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.$ Además, $\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}$ Así, $[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},$ y la razón pedida es $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Scale the total area of $\triangle ABC$ to $1.$ Since $BD:DC=1:2,$ we have $[ABD]=\frac{1}{3}$ and $[ACD]=\frac{2}{3}.$ The midpoint and trisection conditions give $AF:FD=3:1.$ Hence $[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.$ Also $\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}$ Therefore $[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},$ and the requested ratio is $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.$

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años