Question

Un conjunto $S$ se construye como sigue. Para empezar, $S=\{0,10\}.$ Repetidamente, mientras sea posible, si $x$ es una raíz entera de algún polinomio $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}$ $+\cdots+a_1x+a_0$ para algún $n\ge1,$ cuyos coeficientes $a_i$ son todos elementos de $S,$ entonces $x$ se agrega a $S.$ Cuando ya no se pueden agregar más elementos a $S,$ ¿cuántos elementos tiene $S$ ?

A set $S$ is constructed as follows. To begin, $S=\{0,10\}.$ Repeatedly, as long as possible, if $x$ is an integer root of some polynomial $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}$ $+\cdots+a_1x+a_0$ for some $n\ge1,$ all of whose coefficients $a_i$ are elements of $S,$ then $x$ is put into $S.$ When no more elements can be added to $S,$ how many elements does $S$ have?

$4$

$5$

$7$

$9$

$11$

Solución:

Usando $10x+10,$ la raíz $-1$ entra en $S.$ Luego $1$ entra como raíz de $-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,$ y $-10$ entra a partir de $x+10.$

Ahora $x^3+x-10$ tiene raíz $2,$ y $x+2$ da $-2;$ luego $2x-10$ y $2x+10$ dan $\pm5.$ En este punto $S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.$

No puede aparecer ningún entero más: por el teorema de la raíz racional cualquier raíz entera divide al término constante, que siempre es un factor de $10.$ Así que $S$ tiene $9$ elementos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $10x+10,$ the root $-1$ enters $S.$ Then $1$ enters as a root of $-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,$ and $-10$ enters from $x+10.$

Now $x^3+x-10$ has root $2,$ and $x+2$ gives $-2;$ then $2x-10$ and $2x+10$ give $\pm5.$ At this point $S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.$

No further integer can appear: by the Rational Root Theorem any integer root divides the constant term, which is always a factor of $10.$ So $S$ has $9$ elements.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años