Question

La gráfica del polinomio $\begin{aligned} &P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 \\ &\quad {}+ cx^2 + dx + e \end{aligned}$

tiene cinco intersecciones distintas con el eje $x$ , una de las cuales está en $(0, 0).$ ¿Cuál de los siguientes coeficientes no puede ser cero?

The graph of the polynomial $\begin{aligned} &P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 \\ &\quad {}+ cx^2 + dx + e \end{aligned}$

has five distinct $x$ -intercepts, one of which is at $(0, 0).$ Which of the following coefficients cannot be zero?

$a$

$b$

$c$

$d$

$e$

$P(0)=0$ obliga a que $e=0$ .

$P(0)=0$ forces $e=0$

Factoriza $x;$ el término constante del cuártico restante es el producto de las cuatro raíces no nulas.

Factor out $x;$ the constant term of the remaining quartic is the product of the four nonzero roots

Como $(0,0)$ es una intersección, $P(0)=e=0,$ así que $P(x)$ $=x\left(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right).$

Las cuatro intersecciones restantes son no nulas y distintas, y $d$ es igual a su producto, que por lo tanto es no nulo.

Cualquiera de $a,b,c$ puede ser cero para elecciones adecuadas de esas raíces, pero $d\neq0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $(0,0)$ is an intercept, $P(0)=e=0,$ so $P(x)$ $=x\left(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right).$

The four remaining intercepts are nonzero and distinct, and $d$ equals their product, which is therefore nonzero.

Any of $a,b,c$ can be zero for suitable choices of those roots, but $d\neq0.$

Thus, the correct answer is D.