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2021 AMC 12A Fall Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2021 AMC 12A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Sea ABCDABCD un trapecio isósceles con BC‾∥AD‾\overline{BC} \parallel \overline{AD} y AB=CD.AB = CD. Los puntos XX y YY están en la diagonal AC‾\overline{AC} con XX entre AA y Y,Y, como se muestra en la figura. Supón que ∠AXD=∠BYC=90∘,\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ, AX=3,AX = 3, XY=1,XY = 1, y YC=2.YC = 2. ¿Cuál es el área de ABCDABCD?

Let ABCDABCD be an isosceles trapezoid with BC‾∥AD‾\overline{BC} \parallel \overline{AD} and AB=CD.AB = CD. Points XX and YY lie on diagonal AC‾\overline{AC} with XX between AA and Y,Y, as shown in the figure. Suppose ∠AXD=∠BYC=90∘,\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ, AX=3,AX = 3, XY=1,XY = 1, and YC=2.YC = 2. What is the area of ABCD?ABCD?

1515

5115\sqrt{11}

3353\sqrt{35}

1818

777\sqrt{7}

Respuesta: C
Conceptos:geometría analíticatrapeciofórmula del cordón
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:

Coloca A,X,Y,CA, X, Y, C en una recta horizontal con AX=3,AX = 3, XY=1,XY = 1, YC=2.YC = 2. Entonces DD está verticalmente debajo de XX y BB verticalmente arriba de YY

Place A,X,Y,CA, X, Y, C on a horizontal line with AX=3,AX = 3, XY=1,XY = 1, YC=2.YC = 2. Then DD is vertically below XX and BB vertically above YY

Pista grande:

Usa BC‾∥AD‾\overline{BC}\parallel\overline{AD} y AB=CDAB = CD para relacionar las alturas de BB y D,D, luego aplica la fórmula del cordón de zapato

Use BC‾∥AD‾\overline{BC}\parallel\overline{AD} and AB=CDAB = CD to relate the heights of BB and D,D, then apply the shoelace formula

Solución:

Pon A=(0,0),A = (0,0), X=(3,0),X = (3,0), Y=(4,0),Y = (4,0), C=(6,0).C = (6,0). Los ángulos rectos dan D=(3,t)D = (3, t) y B=(4,s)B = (4, s) en lados opuestos de AC.AC.

El paralelismo AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} obliga a t=−32s,t = -\tfrac{3}{2}s, y AB=CDAB = CD da 16+s2=9+t2,16 + s^2 = 9 + t^2, así que t2−s2=7.t^2 - s^2 = 7. Sustituyendo se obtiene s2=285.s^2 = \tfrac{28}{5}.

La fórmula del cordón de zapato da área =3 ∣t−s∣= 3\,|t - s| =3⋅52s= 3\cdot\tfrac{5}{2}s =152s= \tfrac{15}{2}s =152285= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}} =335.= 3\sqrt{35}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put A=(0,0),A = (0,0), X=(3,0),X = (3,0), Y=(4,0),Y = (4,0), C=(6,0).C = (6,0). The right angles give D=(3,t)D = (3, t) and B=(4,s)B = (4, s) on opposite sides of AC.AC.

Parallelism AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} forces t=−32s,t = -\tfrac{3}{2}s, and AB=CDAB = CD gives 16+s2=9+t2,16 + s^2 = 9 + t^2, so t2−s2=7.t^2 - s^2 = 7. Substituting yields s2=285.s^2 = \tfrac{28}{5}.

The shoelace formula gives area =3 ∣t−s∣= 3\,|t - s| =3⋅52s= 3\cdot\tfrac{5}{2}s =152s= \tfrac{15}{2}s =152285= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}} =335.= 3\sqrt{35}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 20#20
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Problema 22#22

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