Question

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ y $AB = CD.$ Los puntos $X$ y $Y$ están en la diagonal $\overline{AC}$ con $X$ entre $A$ y $Y,$ como se muestra en la figura. Supón que $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,$ $AX = 3,$ $XY = 1,$ y $YC = 2.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ?

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ and $AB = CD.$ Points $X$ and $Y$ lie on diagonal $\overline{AC}$ with $X$ between $A$ and $Y,$ as shown in the figure. Suppose $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,$ $AX = 3,$ $XY = 1,$ and $YC = 2.$ What is the area of $ABCD?$

$15$

$5\sqrt{11}$

$3\sqrt{35}$

$18$

$7\sqrt{7}$

Solución:

Pon $A = (0,0),$ $X = (3,0),$ $Y = (4,0),$ $C = (6,0).$ Los ángulos rectos dan $D = (3, t)$ y $B = (4, s)$ en lados opuestos de $AC.$

El paralelismo $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ obliga a $t = -\tfrac{3}{2}s,$ y $AB = CD$ da $16 + s^2 = 9 + t^2,$ así que $t^2 - s^2 = 7.$ Sustituyendo se obtiene $s^2 = \tfrac{28}{5}.$

La fórmula del cordón de zapato da área $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $A = (0,0),$ $X = (3,0),$ $Y = (4,0),$ $C = (6,0).$ The right angles give $D = (3, t)$ and $B = (4, s)$ on opposite sides of $AC.$

Parallelism $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ forces $t = -\tfrac{3}{2}s,$ and $AB = CD$ gives $16 + s^2 = 9 + t^2,$ so $t^2 - s^2 = 7.$ Substituting yields $s^2 = \tfrac{28}{5}.$

The shoelace formula gives area $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Fall Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años