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2018 AMC 12B Problema 21

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 21 del 2018 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:geometría analíticacircunferencia circunscrita, circuncentro y circunradiocircunferencia inscrita, incentro e inradiocircunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2360

21.

En el △ABC\triangle ABC con longitudes de lado AB=13,AB=13, AC=12,AC=12, y BC=5,BC=5, sean OO e II el circuncentro y el incentro, respectivamente. Un círculo con centro MM es tangente a los catetos ACAC y BCBC y a la circunferencia circunscrita del △ABC.\triangle ABC. ¿Cuál es el área del △MOI\triangle MOI?

In △ABC\triangle ABC with side lengths AB=13,AB=13, AC=12,AC=12, and BC=5,BC=5, let OO and II denote the circumcenter and incenter, respectively. A circle with center MM is tangent to the legs ACAC and BCBC and to the circumcircle of △ABC.\triangle ABC. What is the area of △MOI?\triangle MOI?

52\dfrac{5}{2}

114\dfrac{11}{4}

33

134\dfrac{13}{4}

72\dfrac{7}{2}

Solución:

Como 52+122=132,5^2+12^2=13^2, el triángulo es rectángulo en C.C. Pon C=(0,0),C=(0,0), A=(12,0),A=(12,0), y B=(0,5).B=(0,5). Entonces OO es el punto medio de AB‾,\overline{AB}, es decir O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), con circunradio 132.\tfrac{13}{2}. El inradio es areas=3015=2,\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2, por lo que I=(2,2).I=(2,2).

Como el círculo de MM es tangente a ambos catetos, M=(ρ,ρ).M=(\rho,\rho). La tangencia interna con la circunferencia circunscrita da MO=132−ρ.MO=\tfrac{13}{2}-\rho. Igualando esto a (ρ−6)2+(ρ−52)2\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2} y resolviendo se obtiene ρ=4,\rho=4, por lo que M=(4,4).M=(4,4).

La fórmula del cordón de zapato sobre M=(4,4),M=(4,4), O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), I=(2,2)I=(2,2) da un área de 72.\tfrac72.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since 52+122=132,5^2+12^2=13^2, the triangle is right-angled at C.C. Set C=(0,0),C=(0,0), A=(12,0),A=(12,0), and B=(0,5).B=(0,5). Then OO is the midpoint of AB‾,\overline{AB}, namely O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), with circumradius 132.\tfrac{13}{2}. The inradius is areas=3015=2,\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2, so I=(2,2).I=(2,2).

Because MM's circle is tangent to both legs, M=(ρ,ρ).M=(\rho,\rho). Internal tangency to the circumcircle gives MO=132−ρ.MO=\tfrac{13}{2}-\rho. Setting this equal to (ρ−6)2+(ρ−52)2\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2} and solving gives ρ=4,\rho=4, so M=(4,4).M=(4,4).

The shoelace formula on M=(4,4),M=(4,4), O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), I=(2,2)I=(2,2) gives area 72.\tfrac72.

Thus, the correct answer is E.

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El Problema 21 en otros años

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