Question

Si $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},$ donde $a\gt b\gt0$ y $0^\circ\lt x\lt90^\circ,$ entonces $\sin x$ es igual a:

If $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},$ where $a\gt b\gt0$ and $0^\circ\lt x\lt90^\circ,$ then $\sin x$ is equal to:

$\dfrac ab$

$\dfrac ba$

$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2a}$

$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2ab}$

$\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$

Respuesta: E

Conceptos:identidad trigonométrica triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Representa la tangente como la razón de catetos $2ab$ y $a^2-b^2$

Model the tangent as the ratio of legs $2ab$ and $a^2-b^2$

Pista grande:

La hipotenusa correspondiente se simplifica porque $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2$

The corresponding hypotenuse simplifies because $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2$

Solución:

Usa un triángulo rectángulo con cateto opuesto $2ab$ y cateto adyacente $a^2-b^2.$ Su hipotenusa es $\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}$ Por tanto, $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Use a right triangle with opposite leg $2ab$ and adjacent leg $a^2-b^2.$ Its hypotenuse is $\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}$ Hence $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años