Question

正整数 $n$ 有 $60$ 个因数，且 $7n$ 有 $80$ 个因数。使 $7^k$ 整除 $n$ 的最大整数 $k$ 是多少？

A positive integer $n$ has $60$ divisors and $7n$ has $80$ divisors. What is the greatest integer $k$ such that $7^k$ divides $n?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：因数个数质因数分解

难度评级：1990

小提示：

写成 $n = 7^k Q$ ，其中 $Q$ 不是 $7$ 的倍数；设 $Q$ 的因数个数为 $d$ 。

Write $n = 7^k Q$ with $Q$ not divisible by $7$ ; let $d$ be the number of divisors of $Q$

大提示：

则 $n$ 有 $(k+1)d$ 个因数， $7n$ 有 $(k+2)d$ 个因数。

Then $n$ has $(k+1)d$ divisors and $7n$ has $(k+2)d$ divisors

解答：

写成 $n = 7^k Q$ ，其中 $Q$ 不是 $7$ 的倍数，并设 $Q$ 有 $d$ 个因数。那么 $n$ 有 $(k + 1)d = 60$ 个因数，而 $7n = 7^{k+1}Q$ 有 $(k + 2)d = 80$ 个因数。

两式相除，得到 $\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43$ ，所以 $3(k + 2) = 4(k + 1)$ ，从而 $k = 2$ 。

所以正确答案是 C。

Write $n = 7^k Q$ where $Q$ is not divisible by $7,$ and let $d$ be the number of divisors of $Q.$ Then $n$ has $(k + 1)d = 60$ divisors and $7n = 7^{k+1}Q$ has $(k + 2)d = 80$ divisors.

Dividing, $\dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{80}{60} = \dfrac43,$ so $3(k + 2) = 4(k + 1),$ giving $k = 2.$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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