Question

方程 $2x^2 + xy + 3y^2$ $- 11x - 20y + 40 = 0$ 的图像是在 $xy$ 平面第一象限内的一个椭圆。令 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆上所有点 $(x, y)$ 的 $\dfrac{y}{x}$ 的最大值和最小值。 $a + b$ 的值是多少？

The graph of $2x^2 + xy + 3y^2$ $- 11x - 20y + 40 = 0$ is an ellipse in the first quadrant of the $xy$ -plane. Let $a$ and $b$ be the maximum and minimum values of $\dfrac{y}{x}$ over all points $(x, y)$ on the ellipse. What is the value of $a + b?$

$3$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{9}{2}$

$2\sqrt{14}$

答案：C

知识点：椭圆切线韦达定理

难度评级：2080

小提示：

$\dfrac{y}{x}$ 的极值来自与椭圆相切的直线 $y = mx$ 。

The extreme values of $\dfrac{y}{x}$ come from lines $y = mx$ tangent to the ellipse

大提示：

代入 $y = mx$ ，并令所得关于 $x$ 的二次方程的判别式为零。

Substitute $y = mx$ and set the discriminant of the resulting quadratic in $x$ to zero

解答：

斜率 $a$ 和 $b$ 是使直线 $y = mx$ 与椭圆恰好交于一点的 $m$ 值。代入得 $\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0\text{。} \end{aligned}$ 令判别式为零，得到 $-80m^2 + 280m - 199 = 0$ 。由 Vieta 公式， $a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}$ 。

因此正确答案是 C。

The slopes $a$ and $b$ are the values of $m$ for which $y = mx$ meets the ellipse in exactly one point. Substituting gives $\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}$ Setting its discriminant to zero yields $-80m^2 + 280m - 199 = 0.$ By Vieta’s formulas, $a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题