Question

有多少个正整数 $n$ 满足

$\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\text{？}$

（ $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

How many positive integers $n$ satisfy

$\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recall that $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

$2$

$4$

$6$

$30$

$32$

答案：C

知识点：取整函数换元法不等式

难度评级：1800

小提示：

令 $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ，则 $n = 70k - 1000$ 必须满足 $k^2 \le n \lt (k + 1)^2$ 。

Let $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor,$ so $n = 70k - 1000$ must satisfy $k^2 \le n \lt (k + 1)^2$

大提示：

这给出 $k^2 - 70k + 1000 \le 0$ 和 $k^2 - 68k + 1001 \gt 0$ ；数出满足条件的整数 $k$ 。

This gives $k^2 - 70k + 1000 \le 0$ and $k^2 - 68k + 1001 \gt 0;$ count integer $k$

解答：

右边是整数，令 $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 。则 $n = 70k - 1000$ ，而 $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 要求 $k^2 \le n \lt (k + 1)^2$ 。

下界 $k^2 \le 70k - 1000$ 给出 $k^2 - 70k + 1000 \le 0$ ，即 $20 \le k \le 50$ 。上界 $70k - 1000 \lt (k + 1)^2$ 给出 $k^2 - 68k + 1001 \gt 0$ ，即 $k \le 21$ 或 $k \ge 47$ 。

取交集得 $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\}$ ，因此有 $6$ 个 $n$ 值。

所以正确答案是 C。

The right side is an integer, so let $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.$ Then $n = 70k - 1000,$ and $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ requires $k^2 \le n \lt (k + 1)^2.$

The lower bound $k^2 \le 70k - 1000$ gives $k^2 - 70k + 1000 \le 0,$ i.e. $20 \le k \le 50.$ The upper bound $70k - 1000 \lt (k + 1)^2$ gives $k^2 - 68k + 1001 \gt 0,$ i.e. $k \le 21$ or $k \ge 47.$

Intersecting, $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},$ giving $6$ values of $n.$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题