Question

有多少个整数 $x$ 满足方程 $(x^2-x-1)^{x+2}=1\text{？}$

How many integers $x$ satisfy the equation $(x^2-x-1)^{x+2}=1?$

$2$

$3$

$4$

$5$

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：分类讨论指数二次方程

难度评级：2070

小提示：

整数幂可以等于 $1$ ：底数为 $1$ ；底数为 $-1$ 且指数为偶数；或非零底数的指数为 $0$

An integer power can equal $1$ when the base is $1,$ when the base is $-1$ with even exponent, or when a nonzero base has exponent $0$

大提示：

分别求解这三种情形，并检验每个候选值

Solve those three cases separately and check every candidate

解答：

若底数为 $1$ ，则 $x^2-x-1=1$ ，得到 $x=-1$ 和 $x=2$ 。若底数为 $-1$ ，则 $x(x-1)=0$ ；其中只有 $x=0$ 使指数 $x+2$ 为偶数。若指数为 $0$ ，则 $x=-2$ ，此时底数为 $5$ ，所以也符合条件。因此四个解为 $-2$ 、 $-1$ 、 $0$ 、 $2$ 。

所以正确答案是 C。

If the base is $1,$ then $x^2-x-1=1,$ giving $x=-1$ and $x=2.$ If the base is $-1,$ then $x(x-1)=0;$ only $x=0$ makes the exponent $x+2$ even. If the exponent is $0,$ then $x=-2,$ and its base is $5,$ so it also works. Thus the four solutions are $-2,$ $-1,$ $0,$ and $2.$

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题