Question

一个直角三角形的斜边长为 $h$ ，其内切圆半径为 $r$ 。圆的面积与三角形面积之比为

The length of the hypotenuse of a right triangle is $h,$ and the radius of the inscribed circle is $r.$ The ratio of the area of the circle to the area of the triangle is

$\frac{\pi r}{h+2r}$

$\frac{\pi r}{h+r}$

$\frac{\pi r}{2h+r}$

$\frac{\pi r^2}{h^2+r^2}$

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：直角三角形内切圆、内心与内切圆半径三角形面积

难度评级：1870

小提示：

使用三角形面积公式 $K=rs$

Use the formula $K=rs$ for a triangle’s area

大提示：

对于直角三角形，把两条直角边之和用 $h$ 与 $r$ 表示

For a right triangle, relate the sum of the legs to $h$ and $r$

解答：

若两条直角边长为 $x$ 和 $y$ ，则直角三角形的内切圆半径恒等式为 $x+y=h+2r$ 。因此半周长为 $s=\frac{x+y+h}{2}=h+r\text{。}$ 三角形的面积为 $rs=r(h+r)$ ，圆的面积为 $\pi r^2$ 。两者之比为 $\frac{\pi r}{h+r}$ 。

因此，正确答案是 B。

If the legs are $x$ and $y,$ then the right-triangle inradius identity is $x+y=h+2r.$ Hence the semiperimeter is $s=\frac{x+y+h}{2}=h+r.$ The triangle’s area is $rs=r(h+r),$ while the circle’s area is $\pi r^2.$ Their ratio is $\frac{\pi r}{h+r}.$

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题