Question

可以选取 $x\gt\dfrac23$ ，使得

$\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x$

的值：

It is possible to choose $x\gt\dfrac23$ in such a way that the value of

$\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x$

is:

为负数

negative

为零

zero

为一

one

小于任意给定的正数

smaller than any positive number that might be specified

大于任意给定的正数

greater than any positive number that might be specified

答案：D

知识点：对数极限情形界定

难度评级：1860

小提示：

将对数合并为 $\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})$

Combine the logarithms into $\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})$

大提示：

令 $x$ 无限增大

Let $x$ grow without bound

解答：

该表达式等于 $\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right) \end{gathered}\text{。}$ 它始终为正，但随着 $x$ 增大而趋近于 $0$ 。因此可以使它小于任意给定的正数。

因此，正确答案是 D。

The expression is $\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right). \end{gathered}$ It is always positive, but tends to $0$ as $x$ grows. Therefore it can be made smaller than any specified positive number.

Thus, the correct answer is D.

1965 AMC 12 第 21 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题