Question

考虑一个棱锥 $P\text{-}ABCD$ ，其底面 $ABCD$ 是正方形，顶点 $P$ 到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的距离相等。若 $AB=1$ ，且 $\angle APB=2\theta$ ，则该棱锥的体积为

Consider a pyramid $P\text{-}ABCD$ whose base $ABCD$ is square and whose vertex $P$ is equidistant from $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ If $AB=1$ and $\angle APB=2\theta,$ then the volume of the pyramid is

$\frac{\sin\theta}{6}$

$\frac{\cot\theta}{6}$

$\frac1{6\sin\theta}$

$\frac{1-\sin2\theta}{6}$

$\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}$

答案：E

知识点：棱锥三角学 circumradius 体积

难度评级：2380

小提示：

在等腰三角形 $APB$ 中表示 $PA$ ，其中要利用弦长 $AB$

In isosceles triangle $APB,$ express $PA$ using the chord $AB$

大提示：

把 $PA$ 与棱锥的高以及正方形中心到顶点的距离联系起来

Relate $PA$ to the pyramid height and the center-to-vertex distance of the square

解答：

令 $R=PA=PB$ 。在等腰三角形 $APB$ 中， $1=AB=2R\sin\theta\text{，}$ 所以 $R=\frac{1}{2\sin\theta}$ 。若 $h$ 为棱锥的高，则正方形中心到 $A$ 的水平距离为 $\frac{1}{\sqrt2}$ ，因此 $\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta} \end{aligned}\text{。}$ 所以 $h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta}$ ，体积为 $\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}$ 。

所以正确答案是 E。

Let $R=PA=PB.$ In isosceles triangle $APB,$ $1=AB=2R\sin\theta,$ so $R=\frac{1}{2\sin\theta}.$ If $h$ is the pyramid height, the horizontal distance from the square’s center to $A$ is $\frac{1}{\sqrt2},$ hence $\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned}$ Thus $h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta},$ and the volume is $\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.$

Thus the correct answer is E.

1990 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题