Question

对任意正整数 $n$ ，定义 $f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q} \end{cases}\text{。}$ 求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)$ 。

For any positive integer $n,$ let $f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q}. \end{cases}$ What is $\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)?$

$\log_8 2047$

$6$

$\frac{55}{3}$

$\frac{58}{3}$

$585$

答案：C

知识点：logarithms 质因数分解 sums

难度评级：1860

小提示：

判断哪些整数可以写成 $8=2^3$ 的有理数次幂

Determine which integers can be rational powers of $8=2^3$

大提示：

列出不超过 $1997$ 的所有 $2$ 的幂，并将它们以 $8$ 为底的对数相加

List the powers of $2$ not exceeding $1997$ and sum their base- $8$ logarithms

解答：

对整数 $n$ ，当且仅当 $n$ 是 $2$ 的幂时， $\log_8n$ 才是有理数。符合条件的数为 $n=2^k$ ，其中 $0\le k\le10$ ，并且 $f(2^k)=\frac{k}{3}$ 。因此总和为 $\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3}$ ，所以正确答案是 C。

For integer $n,$ $\log_8n$ is rational exactly when $n$ is a power of $2.$ The relevant values are $n=2^k$ for $0\le k\le10,$ and $f(2^k)=\frac{k}{3}.$ Therefore the sum is $\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3},$ so C is correct.

1997 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题