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2008 AMC 12B 第 21 题

先试着解答 2008 AMC 12B 第 21 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2008 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

按如下方式构造两个半径为 11 的圆。圆 AA 的圆心从连接 (0,0)(0, 0) 和 (2,0)(2, 0) 的线段上均匀随机选取。圆 BB 的圆心从连接 (0,1)(0, 1) 和 (2,1)(2, 1) 的线段上均匀随机选取，并且与第一次选择相互独立。圆 AA 和圆 BB 相交的概率是多少？

Two circles of radius 11 are to be constructed as follows. The center of circle AA is chosen uniformly and at random from the line segment joining (0,0)(0, 0) to (2,0).(2, 0). The center of circle BB is chosen uniformly and at random, and independently of the first choice, from the line segment joining (0,1)(0, 1) to (2,1).(2, 1). What is the probability that circles AA and BB intersect?

2+24\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}

33+28\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{8}

22−12\dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}

2+34\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}

43−34\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{4}

答案：E
知识点：几何概率距离公式
难度评级：2040
小提示：

若圆心为 (a,0)(a, 0) 和 (b,1)(b, 1)，两圆相交当且仅当 (a−b)2+1≤2\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2，也就是 ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3}。

With centers (a,0)(a, 0) and (b,1),(b, 1), the circles intersect iff (a−b)2+1≤2,\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2, i.e. ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3}

大提示：

在面积为 44 的正方形 [0,2]2[0, 2]^2 中，通过去掉两个满足 ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt{3} 的角落三角形来求 ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3} 的面积。

In the square [0,2]2[0, 2]^2 of area 4,4, find the area with ∣a−b∣≤3|a - b| \le \sqrt{3} by removing the two corner triangles where ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt{3}

解答：

设两个圆心为 (a,0)(a, 0) 和 (b,1)(b, 1)，其中 a,b∈[0,2]a, b \in [0, 2]。两个半径均为 11 的圆相交，当且仅当圆心距至多为 22：(a−b)2+1≤2  ⟺  ∣a−b∣≤3。 \begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3} \end{aligned}\text{。}

所有点对 (a,b)(a, b) 填满面积为 44 的正方形 [0,2]2[0, 2]^2。失败区域 ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt3 是两个直角三角形，每个的两条直角边长为 2−32 - \sqrt3，总面积为 (2−3)2=7−43(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3。

所以有利面积为 4−(7−43)=43−34 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3，概率为 43−34。 \frac{4\sqrt3 - 3}{4}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let the centers be (a,0)(a, 0) and (b,1)(b, 1) with a,b∈[0,2].a, b \in [0, 2]. The circles (radius 11 each) intersect iff the distance between centers is at most 2:2: (a−b)2+1≤2  ⟺  ∣a−b∣≤3. \begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}

The pairs (a,b)(a, b) fill the square [0,2]2[0, 2]^2 of area 4.4. The failing region ∣a−b∣>3|a - b| \gt \sqrt3 is two right triangles, each with legs 2−3,2 - \sqrt3, of total area (2−3)2=7−43.(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.

So the favorable area is 4−(7−43)=43−3,4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3, and the probability is 43−34. \frac{4\sqrt3 - 3}{4}.

Thus, the correct answer is E.

第 20 题#20
完整试卷
第 22 题#22

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