Question

有多少个整数有序三元组 $(a, b, c)$ ，其中 $a \ge 2$ 、 $b \ge 1$ 、 $c \ge 0$ ，同时满足 $\log_a b = c^{2005}$ 和 $a + b + c = 2005$ ？

How many ordered triples of integers $(a, b, c),$ with $a \ge 2,$ $b \ge 1,$ and $c \ge 0,$ satisfy both $\log_a b = c^{2005}$ and $a + b + c = 2005?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：对数丢番图方程极限情形界定

难度评级：2440

小提示：

把第一个条件改写为 $b = a^{\left(c^{2005}\right)}$ 。

Rewrite the first condition as $b = a^{\left(c^{2005}\right)}$

大提示：

若 $c \ge 2$ ，则 $b$ 远大于 $2005$ ；只有 $c = 0$ 和 $c = 1$ 可能成立。

If $c \ge 2,$ then $b$ is astronomically larger than $2005;$ only $c = 0$ and $c = 1$ can work

解答：

条件 $\log_a b = c^{2005}$ 等价于 $b = a^{\left(c^{2005}\right)}$ 。

若 $c \ge 2$ ，则 $b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)}$ ，远大于 $2005$ ，不可能满足 $a + b + c = 2005$ 。

当 $c = 0$ 时， $b = a^0 = 1$ ，且 $a + 1 + 0 = 2005$ ，得到 $(a, b, c) = (2004, 1, 0)$ 。当 $c = 1$ 时， $b = a^1 = a$ ，且 $2a + 1 = 2005$ ，得到 $(a, b, c) = (1002, 1002, 1)$ 。

共有 $2$ 个三元组。

所以正确答案是 C。

The condition $\log_a b = c^{2005}$ means $b = a^{\left(c^{2005}\right)}.$

If $c \ge 2,$ then $b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},$ which vastly exceeds $2005,$ so $a + b + c = 2005$ is impossible.

For $c = 0:$ $b = a^0 = 1,$ so $a + 1 + 0 = 2005$ gives $(a, b, c) = (2004, 1, 0).$ For $c = 1:$ $b = a^1 = a,$ so $2a + 1 = 2005$ gives $(a, b, c) = (1002, 1002, 1).$

There are $2$ such triples.

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A 第 21 题

答案：C

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

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