Question

以定理“若一个三角形的两个角相等，则该三角形是等腰三角形”为出发点，并考察以下四个命题：

$1$ 。若一个三角形的两个角不相等，则该三角形不是等腰三角形。

$2$ 。等腰三角形的两个底角相等。

$3$ 。若一个三角形不是等腰三角形，则它的两个角不相等。

$4$ 。一个三角形为等腰三角形，是其两个角相等的必要条件。

下列哪组命题只包含与所给定理逻辑等价的命题？

Start with the theorem “If two angles of a triangle are equal, the triangle is isosceles,” and the following four statements:

$1.$ If two angles of a triangle are not equal, the triangle is not isosceles.

$2.$ The base angles of an isosceles triangle are equal.

$3.$ If a triangle is not isosceles, then two of its angles are not equal.

$4.$ A necessary condition that two angles of a triangle be equal is that the triangle be isosceles.

Which combination of statements contains only those which are logically equivalent to the given theorem?

$1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$

$1,$ $2,$ $3,$ $4$

$1$ ， $2$ ， $3$

$1,$ $2,$ $3$

$2$ ， $3$ ， $4$

$2,$ $3,$ $4$

$1$ ， $2$

$1,$ $2$

$3$ ， $4$

$3,$ $4$

答案：E

知识点：逻辑推理

难度评级：1590

小提示：

将定理写成 $P\Rightarrow Q$ ，并把各命题与其否命题、逆命题或逆否命题比较

Write the theorem as $P\Rightarrow Q$ and compare each statement with its inverse, converse, or contrapositive

大提示：

一个命题总与其逆否命题等价，但通常不与其逆命题或否命题等价

A statement is always equivalent to its contrapositive, but not generally to its converse or inverse

解答：

令 $P$ 表示两个角相等， $Q$ 表示三角形为等腰三角形。命题 $3$ 是逆否命题 $\neg Q\Rightarrow\neg P$ ，所以它与 $P\Rightarrow Q$ 等价。命题 $4$ 说 $Q$ 是 $P$ 的必要条件，这只是 $P\Rightarrow Q$ 的另一种表述。命题 $1$ 与 $2$ 分别是否命题和逆命题。

因此，只有命题 $3$ 与 $4$ 等价，正确答案是 E。

Let $P$ mean that two angles are equal and $Q$ that the triangle is isosceles. Statement $3$ is the contrapositive $\neg Q\Rightarrow\neg P,$ so it is equivalent to $P\Rightarrow Q.$ Statement $4$ says that $Q$ is necessary for $P,$ which is another wording of $P\Rightarrow Q.$ Statements $1$ and $2$ are the inverse and converse.

Thus only statements $3$ and $4$ are equivalent, so the correct answer is E.

1957 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题