Question

在复平面中，复数 $z$ 满足 $|4z - 2| = 1$ ，一个三角形的三个顶点为 $2z$ 、 $(1+i)z$ 、 $(1-i)z$ 。这个三角形的最大可能面积是多少？

What is the greatest possible area of the triangle in the complex plane with vertices $2z,$ $(1+i)z,$ and $(1-i)z,$ where $z$ is a complex number satisfying $|4z - 2| = 1?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

答案：C

知识点：复数三角形面积最优化

难度评级：2270

小提示：

这些顶点是将固定点 $2, 1+i, 1-i$ 同时乘以 $z$ 得到的，所以三角形按 $|z|$ 的比例缩放。

The vertices are $z$ times the fixed points $2, 1+i, 1-i,$ so the triangle is that fixed triangle scaled by $|z|$

大提示：

面积等于固定三角形的面积乘以 $|z|^2$ ；条件 $|4z - 2| = 1$ 表示一个圆，所以要在圆上使 $|z|$ 最大。

Its area is $|z|^2$ times a fixed area; the condition $|4z - 2| = 1$ is a circle, so maximize $|z|$ on it

解答：

三个顶点是 $z \cdot 2$ 、 $z(1+i)$ 、 $z(1-i)$ ，所以该三角形是顶点为 $2, 1+i, 1-i$ 的面积为 $1$ 的固定三角形按比例 $|z|$ 缩放得到的，面积为 $|z|^2$ 。条件 $|4z - 2| = 1$ 等价于 $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4}$ ，所以 $|z|$ 最大为 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$ 。最大面积为 $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ 。

所以正确答案是 C。

The vertices are $z \cdot 2,$ $z(1+i),$ and $z(1-i),$ so the triangle is the fixed triangle with vertices $2, 1+i, 1-i$ — which has area $1$ — scaled by $|z|,$ giving area $|z|^2.$ The condition $|4z - 2| = 1$ is the circle $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},$ on which $|z|$ is at most $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.$ So the greatest area is $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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