Question

直角三角形 $ABC$ 的边长为 $BC = 6$ 、 $AC = 8$ 、 $AB = 10$ 。以 $O$ 为圆心的圆在 $B$ 点与直线 $BC$ 相切，并经过 $A$ 。以 $P$ 为圆心的圆在 $A$ 点与直线 $AC$ 相切，并经过 $B$ 。求 $OP$ 。

Right triangle $ABC$ has side lengths $BC = 6,$ $AC = 8,$ and $AB = 10.$ A circle centered at $O$ is tangent to line $BC$ at $B$ and passes through $A.$ A circle centered at $P$ is tangent to line $AC$ at $A$ and passes through $B.$ What is $OP?$

$\dfrac{23}{8}$

$\dfrac{29}{10}$

$\dfrac{35}{12}$

$\dfrac{73}{25}$

$3$

答案：C

知识点：坐标几何切线距离公式

难度评级：2490

小提示：

将 $C$ 放在原点，并让两条直角边沿坐标轴。

Place $C$ at the origin with legs along the axes

大提示：

切点处的半径垂直于切线，所以 $O$ 在 $B$ 的正上方， $P$ 在 $A$ 的正右方。

A tangent point’s radius is perpendicular to the tangent line, so $O$ lies directly above $B$ and $P$ directly across from $A$

解答：

令 $C = (0, 0)$ ， $B = (6, 0)$ ， $A = (0, 8)$ ，于是直角在 $C$ 。

圆 $O$ 与直线 $BC$ （ $x$ -轴）在 $B$ 点相切，所以 $O = (6, k)$ 。令 $OA = OB$ ，得 $36 + (k - 8)^2 = k^2$ ，所以 $k = \tfrac{25}{4}$ ，即 $O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right)$ 。

圆 $P$ 与直线 $AC$ （ $y$ -轴）在 $A$ 点相切，所以 $P = (h, 8)$ 。由 $PB = PA$ 得 $(h - 6)^2 + 64 = h^2$ ，所以 $h = \tfrac{25}{3}$ ，且 $P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right)$ 。

因此 $OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}$ $= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}$ $= \dfrac{35}{12}$ 。

所以正确答案是 C。

Place $C = (0, 0),$ $B = (6, 0),$ and $A = (0, 8),$ so the right angle is at $C.$

Circle $O$ is tangent to line $BC$ (the $x$ -axis) at $B,$ so $O = (6, k).$ Setting $OA = OB$ gives $36 + (k - 8)^2 = k^2,$ so $k = \tfrac{25}{4}$ and $O = \left(6, \tfrac{25}{4}\right).$

Circle $P$ is tangent to line $AC$ (the $y$ -axis) at $A,$ so $P = (h, 8).$ Setting $PB = PA$ gives $(h - 6)^2 + 64 = h^2,$ so $h = \tfrac{25}{3}$ and $P = \left(\tfrac{25}{3}, 8\right).$

Then $OP = \sqrt{\left(\tfrac73\right)^2 + \left(\tfrac74\right)^2}$ $= 7\sqrt{\tfrac{25}{144}}$ $= \dfrac{35}{12}.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall 第 22 题

答案：C

难度评级：2490

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