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2002 AMC 12A 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

三角形 ABCABC 是直角三角形，∠ACB\angle ACB 为直角，m∠ABC=60∘m\angle ABC = 60^\circ，且 AB=10AB = 10。在 △ABC\triangle ABC 内随机选一点 PP，再将 BP‾\overline{BP} 延长交 AC‾\overline{AC} 于 DD。求 BD>52BD \gt 5\sqrt{2} 的概率。

Triangle ABCABC is a right triangle with ∠ACB\angle ACB as its right angle, m∠ABC=60∘,m\angle ABC = 60^\circ, and AB=10.AB = 10. Let PP be randomly chosen inside △ABC,\triangle ABC, and extend BP‾\overline{BP} to meet AC‾\overline{AC} at D.D. What is the probability that BD>52?BD \gt 5\sqrt{2}?

2−22\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}

13\dfrac{1}{3}

3−33\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}

12\dfrac{1}{2}

5−55\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}

答案：C
知识点：几何概率面积比特殊直角三角形
难度评级：1990
小提示：

△ABC\triangle ABC 是 3030-6060-9090 三角形，其中 BC=5BC = 5，AC=53AC = 5\sqrt{3}。

△ABC\triangle ABC is 3030-6060-9090 with BC=5BC = 5 and AC=53AC = 5\sqrt{3}

大提示：

在 AC‾\overline{AC} 上取点 EE，使 CE=5CE = 5，则 BE=52BE = 5\sqrt{2}；此时 BD>52BD \gt 5\sqrt{2} 当且仅当 PP 落在 △ABE\triangle ABE 内。

Choose EE on AC‾\overline{AC} with CE=5,CE = 5, so BE=52;BE = 5\sqrt{2}; then BD>52BD \gt 5\sqrt{2} iff PP lies inside △ABE\triangle ABE

解答：

因为 AB=10AB = 10 且 ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ，这个 3030-6060-9090 三角形满足 BC=5BC = 5，AC=53AC = 5\sqrt3。

在 AC‾\overline{AC} 上取点 EE，使 CE=5CE = 5，则 BE=52+52=52BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2。当 DD 沿 AC‾\overline{AC} 移动时，BD=25+CD2BD = \sqrt{25 + CD^2}。它超过 525\sqrt2 正好等价于 CD>5CD \gt 5，也就是 DD 位于 EE 的外侧；这又当且仅当 PP 在 △ABE\triangle ABE 内。

所求概率为 [ABE][ABC]=EACA=53−553=3−33。 \begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Since AB=10AB = 10 and ∠ABC=60∘,\angle ABC = 60^\circ, the 3030-6060-9090 triangle has BC=5BC = 5 and AC=53.AC = 5\sqrt3.

Place EE on AC‾\overline{AC} with CE=5;CE = 5; then BE=52+52=52.BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2. As DD moves along AC‾,\overline{AC}, BD=25+CD2BD = \sqrt{25 + CD^2} exceeds 525\sqrt2 exactly when CD>5,CD \gt 5, i.e. when DD lies beyond E,E, which happens iff PP is inside △ABE.\triangle ABE.

The probability is [ABE][ABC]=EACA=53−553=3−33. \begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

第 21 题#21
完整试卷
第 23 题#23

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