Question

对每个实数 $x$ ，令 $f(x)$ 为 $4x+1$ 、 $x+2$ 和 $-2x+4$ 三者中的最小值。则 $f(x)$ 的最大值为

For each real number $x,$ let $f(x)$ be the minimum of the numbers $4x+1,$ $x+2,$ and $-2x+4.$ Then the maximum value of $f(x)$ is

$\frac13$

$\frac12$

$\frac23$

$\frac52$

$\frac83$

答案：E

知识点：函数最优化一次方程

难度评级：1980

小提示：

画出三条直线，并观察它们的下包络线

Sketch the three lines and follow their lower envelope

大提示：

最大值出现在起作用的递增直线与递减直线的交点处

The maximum occurs where the active increasing line meets the decreasing line

解答：

下包络线先取 $4x+1$ ，直到它与 $x+2$ 于 $x=\frac{1}{3}$ 相交；随后取 $x+2$ ，直到它与 $-2x+4$ 于 $x=\frac{2}{3}$ 相交；此后则取 $-2x+4$ 。因此最大值在 $x=\frac{2}{3}$ 处取得，等于 $\frac23+2=\frac83\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The lower envelope is $4x+1$ until it meets $x+2$ at $x=\frac{1}{3},$ then is $x+2$ until that line meets $-2x+4$ at $x=\frac{2}{3},$ and thereafter is $-2x+4.$ Thus its maximum occurs at $x=\frac{2}{3}$ and equals $\frac23+2=\frac83.$

Therefore, the correct answer is E.

1980 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题