Question

设 $S$ 是所有整数 $z \gt 1$ 组成的集合，且这些整数满足：对于所有满足 $x \lt y \lt z$ 的非负整数对 $(x, y)$ ， $2025x$ 除以 $z$ 的余数小于 $2025y$ 除以 $z$ 的余数。求 $S$ 中所有元素的和。

Let $S$ be the set of all integers $z \gt 1$ such that for all pairs of nonnegative integers $(x, y)$ with $x \lt y \lt z,$ the remainder when $2025x$ is divided by $z$ is less than the remainder when $2025y$ is divided by $z.$ What is the sum of the elements of $S?$

$3041$

$3542$

$3750$

$4044$

$4319$

答案：E

知识点：模运算整除性因数之和

难度评级：2380

小提示：

条件表示映射 $k \mapsto 2025k \bmod z$ 在 $0, 1, \ldots, z-1$ 上严格递增。

The condition says the map $k \mapsto 2025k \bmod z$ is strictly increasing on $0, 1, \ldots, z-1$

大提示：

从 $0$ 开始的 $0, 1, \ldots, z-1$ 的递增重排只能是自身，所以迫使 $2025 \equiv 1 \pmod z$ 。

An increasing rearrangement of $0, 1, \ldots, z-1$ starting at $0$ must be the identity, forcing $2025 \equiv 1 \pmod z$

解答：

条件要求 $k \mapsto 2025k \bmod z$ 在集合 $\{0, 1, \ldots, z-1\}$ 上严格递增。这些值都是模 $z$ 后落在 $[0, z-1]$ 中的不同数，所以递增列表只能是 $0, 1, \ldots, z-1$ 。因此 $2025 \equiv 1 \pmod z$ ，即 $2024$ 是 $z$ 的倍数。由于 $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$ ，其所有正因数之和为 $(1+2+4+8)(1+11)(1+23)$ $= 15 \cdot 12 \cdot 24$ $= 4320$ 。排除 $z = 1$ 后，和为 $4319$ 。

所以正确答案是 E。

The condition requires $k \mapsto 2025k \bmod z$ to be strictly increasing on $\{0, 1, \ldots, z-1\}.$ A strictly increasing list of $z$ distinct values in $[0, z-1]$ must be $0, 1, \ldots, z-1,$ so $2025 \equiv 1 \pmod z,$ i.e. $2024$ is divisible by $z.$ Since $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23,$ the sum of all its divisors is $(1+2+4+8)(1+11)(1+23)$ $= 15 \cdot 12 \cdot 24$ $= 4320.$ Excluding $z = 1$ leaves $4319.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B 第 23 题

答案：E

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题