Question

若 $p$ 是质数，且方程 $x^2+px-444p=0$ 的两个根都是整数，则

If $p$ is a prime and both roots of $x^2+px-444p=0$ are integers, then

$1\lt p\le11$

$11\lt p\le21$

$21\lt p\le31$

$31\lt p\le41$

$41\lt p\le51$

答案：D

知识点：integer roots prime divisibility Vieta’s formulas

难度评级：2110

小提示：

对于整数根 $x$ ，将方程改写为 $x^2=p(444-x)$

For an integer root $x,$ rewrite the equation as $x^2=p(444-x)$

大提示：

由于 $p$ 是质数，可令 $x=np$ ，再分解 $444$

Since $p$ is prime, write $x=np$ and factor $444$

解答：

整数根满足 $x^2=p(444-x)\text{。}$ 因此 $x$ 能被 $p$ 整除，令 $x=np$ 。代入可得 $n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37\text{。}$ 连续两个整数的乘积这一条件只有在 $p=37$ 时成立，此时 $n=3$ 或 $-4$ 。两个根是 $111$ 和 $-148$ ，所以 $31\lt p\le41$ 。

因此，正确答案是 D。

An integer root satisfies $x^2=p(444-x).$ Thus $x$ is divisible by $p,$ so write $x=np.$ Substitution gives $n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.$ The consecutive product condition works only with $p=37,$ for which $n=3$ or $-4.$ The roots are $111$ and $-148,$ so $31\lt p\le41.$

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 第 23 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题