Question

若 $x$ 、 $y\gt0$ 、 $\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3}$ ，且 $xy=144$ ，则 $\frac{x+y}{2}=$

If $x,$ $y\gt0,$ $\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},$ and $xy=144,$ then $\frac{x+y}{2}=$

$12\sqrt2$

$13\sqrt3$

$24$

$30$

$36$

答案：B

知识点：对数 quadratic equation symmetric expression

难度评级：2130

小提示：

令 $t=\log_yx$ ，则 $\log_xy=\frac{1}{t}$

Let $t=\log_yx,$ so that $\log_xy=\frac{1}{t}$

大提示：

$t$ 的两个可能值表明， $x,y$ 中一个是另一个的立方

The resulting values of $t$ show that one of $x,y$ is the cube of the other

解答：

令 $t=\log_yx$ 。则 $t+\frac1t=\frac{10}{3}\text{，}$ 所以 $3t^2-10t+3=0$ ，从而 $t=3$ 或 $\frac{1}{3}$ 。因此， $x,y$ 中一个是另一个的立方。设较小者为 $u$ 。则 $u^4=xy=144$ ，所以 $u=2\sqrt3$ ，且 $u^3=24\sqrt3$ 。因此 $\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3\text{。}$

所以正确答案是 B。

Let $t=\log_yx.$ Then $t+\frac1t=\frac{10}{3},$ so $3t^2-10t+3=0,$ giving $t=3$ or $\frac{1}{3}.$ Thus one of $x,y$ is the cube of the other. Let the smaller be $u.$ Then $u^4=xy=144,$ so $u=2\sqrt3$ and $u^3=24\sqrt3.$ Therefore $\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.$

Thus the correct answer is B.

1990 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题