Question

多项式 $x^3 - 2004x^2 + mx + n$ 的系数为整数，并且有三个不同的正零点。其中恰好一个零点是整数，且它等于另外两个零点之和。 $n$ 可能有多少个值？

The polynomial $x^3 - 2004x^2 + mx + n$ has integer coefficients and three distinct positive zeros. Exactly one of these is an integer, and it is the sum of the other two. How many values of $n$ are possible?

$250{,}000$

$250{,}250$

$250{,}500$

$250{,}750$

$251{,}000$

答案：C

知识点：韦达定理多项式区间内整数计数

难度评级：2280

小提示：

整数零点等于另外两个零点之和，而另外两个零点必须是共轭数 $\dfrac{a}{2} \pm r$ 。

The integer zero is the sum of the other two, which must be conjugates $\dfrac{a}{2} \pm r$

大提示：

整数零点是 $2004$ 的一半，所以是 $1002$ ；然后数合法的 $r^2$ 。

The integer zero is half of $2004,$ so it is $1002;$ then count valid $r^2$

解答：

设整数零点为 $a$ 。另外两个零点是无理共轭数 $\dfrac{a}{2} \pm r$ ，它们的和 $a$ 等于整数零点。由 $x^2$ 项系数的 Vieta 公式， $a + a = 2004$ ，所以 $a = 1002$ ，共轭对为 $501 \pm r$ 。

系数为整数当且仅当 $r^2$ 是正整数；零点为正且互不相同当 $1 \le r^2 \le 501^2 - 1 = 251{,}000$ 。由于 $r$ 不能是整数，排除 $500$ 个平方数 $r^2 = 1^2, \ldots, 500^2$ ，剩下 $251{,}000 - 500 = 250{,}500$ 个 $n$ 的值。

因此正确答案是 C。

Let the integer zero be $a.$ The other two zeros are irrational conjugates $\dfrac{a}{2} \pm r,$ whose sum $a$ equals the integer zero. Vieta’s formula on the $x^2$ coefficient gives $a + a = 2004,$ so $a = 1002$ and the conjugate pair is $501 \pm r.$

The coefficients are integers exactly when $r^2$ is a positive integer, and the zeros are positive and distinct when $1 \le r^2 \le 501^2 - 1 = 251{,}000.$ Since $r$ cannot be an integer, we exclude the $500$ perfect-square values $r^2 = 1^2, \ldots, 500^2,$ leaving $251{,}000 - 500 = 250{,}500$ values of $n.$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：2280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题