Question

一个长方体的尺寸为 $a \times b \times c$ ，其中 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 是整数，且 $1 \le a \le b \le c$ 。这个长方体的体积和表面积在数值上相等。有多少个有序三元组 $(a, b, c)$ 是可能的？

A rectangular box measures $a \times b \times c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $1 \le a \le b \le c.$ The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples $(a, b, c)$ are possible?

$4$

$10$

$12$

$21$

$26$

答案：B

知识点：丢番图方程因式分解分类讨论

难度评级：2340

小提示：

条件是 $abc = 2(ab + bc + ca)$ ，且 $1 \le a \le b \le c$ 。

The condition is $abc = 2(ab + bc + ca)$ with $1 \le a \le b \le c$

大提示：

证明 $a \le 6$ ，然后对每个固定的 $a$ ，把方程因式分解为一个等于常数的乘积

Show $a \le 6,$ then for each fixed $a$ factor the equation into a product equal to a constant

解答：

体积和表面积在数值上相等，意味着 $abc=2(ab+bc+ca)$ 。两边除以 $abc$ 得 $1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a}$ ，所以 $a\le6$ 。情形 $a=1$ 和 $a=2$ 都没有正数解。当 $a\ne2$ 时，令 $\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a \end{gathered}\text{。}$ 原方程可因式分解为 $uv=4a^2$ 。

当 $a=3$ 时， $(b-6)(c-6)=36$ 给出 $(b,c)=(7,42)$ ， $(8,24)$ ， $(9,18)$ ， $(10,15)$ ， $(12,12)$ 。当 $a=4$ 时， $(b-4)(c-4)=16$ 给出 $(5,20),(6,12),(8,8)$ 。当 $a=5$ 时，两个因数模 $3$ 的同余条件只留下有效数对 $(b,c)=(5,10)$ ，当 $a=6$ 时， $(b-3)(c-3)=9$ 只留下 $(b,c)=(6,6)$ 。因此共有 $5+3+1+1=10$ 个三元组。

因此，正确答案是 B。

Numerically equal volume and surface area means $abc=2(ab+bc+ca).$ Dividing by $abc$ gives $1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},$ so $a\le6.$ The cases $a=1$ and $a=2$ give no positive solutions. For $a\ne2,$ set $\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}$ The equation then factors as $uv=4a^2.$

For $a=3,$ $(b-6)(c-6)=36$ gives $(b,c)=(7,42),$ $(8,24),$ $(9,18),$ $(10,15),$ $(12,12).$ For $a=4,$ $(b-4)(c-4)=16$ gives $(5,20),(6,12),(8,8).$ For $a=5,$ the congruence of the two factors modulo $3$ leaves only the valid pair $(b,c)=(5,10),$ and for $a=6,$ $(b-3)(c-3)=9$ leaves only $(b,c)=(6,6).$ Thus there are $5+3+1+1=10$ triples.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B 第 23 题

答案：B

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

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