Question

$10^n$ 的所有正因数的以 $10$ 为底的对数之和为 $792$ 。 $n$ 等于多少？

The sum of the base- $10$ logarithms of the divisors of $10^n$ is $792.$ What is $n?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

答案：A

知识点：对数因数个数

难度评级：1860

小提示：

因数对数之和等于所有因数乘积的对数。

The sum of the logs of the divisors equals the log of the product of all divisors

大提示：

$10^n$ 有 $(n + 1)^2$ 个因数，而 $N$ 的所有因数的乘积是 $N^{\frac{d(N)}{2}}$ ；这给出 $\tfrac12 n(n + 1)^2 = 792$ 。

$10^n$ has $(n + 1)^2$ divisors, and the product of the divisors of $N$ is $N^{\frac{d(N)}{2}};$ this gives $\tfrac12 n(n + 1)^2 = 792$

解答：

所有因数的以 $10$ 为底的对数之和，就是这些因数乘积的对数。若一个数 $N$ 有 $d(N)$ 个因数，则其所有因数的乘积为 $N^{\frac{d(N)}{2}}$ 。

这里 $N = 10^n$ 有 $d(N) = (n + 1)^2$ 个因数，所以因数乘积为 $(10^n)^{\frac{(n+1)^2}{2}}$ ，其对数为 $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792\text{。}$

因此 $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2$ ，得到 $n = 11$ 。

因此，正确答案是 A。

The sum of the base- $10$ logs of the divisors is the log of their product. A number $N$ with $d(N)$ divisors has divisor product $N^{\frac{d(N)}{2}}.$

Here $N = 10^n$ has $d(N) = (n + 1)^2$ divisors, so the product is $(10^n)^{\frac{(n+1)^2}{2}}$ and its log is $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Thus $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ giving $n = 11.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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