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1999 AMC 12 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

等角凸六边形 ABCDEFABCDEF 满足 AB=1AB = 1、BC=4BC = 4、CD=2CD = 2、DE=4DE = 4。该六边形面积为

The equiangular convex hexagon ABCDEFABCDEF has AB=1,AB = 1, BC=4,BC = 4, CD=2,CD = 2, and DE=4.DE = 4. The area of the hexagon is

1523\dfrac{15}{2}\sqrt{3}

939\sqrt{3}

1616

3943\dfrac{39}{4}\sqrt{3}

4343\dfrac{43}{4}\sqrt{3}

答案：E
知识点：等角多边形等边三角形面积分割
难度评级：1980
小提示：

延长交替的边，将六边形包在一个大等边三角形中。

Extend alternate sides to enclose the hexagon in a large equilateral triangle

大提示：

从大等边三角形中减去三个小等边角三角形。

Subtract three small equilateral corner triangles from the large one

解答：

等角六边形的每个内角为 120∘120^\circ。延长边 FAFA 与 BCBC、BCBC 与 DEDE、DEDE 与 FAFA，会形成一个大等边三角形，并切去三个等边小角三角形。

设 EF=eEF=e，FA=fFA=f。把六条边按彼此相差 60∘60^\circ 的方向分解，可得 f−e=4f-e=4 和 e+f=6e+f=6，所以 e=1e=1，f=5f=5。于是建立在 AB,CDAB, CD 和 EFEF 上的角三角形都是等边三角形。大三角形的边长为 1+4+2=71+4+2=7，而被切去的三角形边长分别为 1,21,2 和 11。所以面积为 34(72−12−22−12)=4334。 \begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

Each interior angle is 120∘,120^\circ, so extending sides FAFA and BC,BC, BCBC and DE,DE, and DEDE and FAFA cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

Let EF=eEF=e and FA=f.FA=f. Resolving the six sides in directions separated by 60∘60^\circ gives f−e=4f-e=4 and e+f=6,e+f=6, so e=1e=1 and f=5.f=5. The corner triangles built on AB,CD,AB, CD, and EFEF are therefore equilateral. The large triangle has side 1+4+2=7,1+4+2=7, while the removed triangles have sides 1,2,1,2, and 1.1. The area is 34(72−12−22−12)=4334. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

第 22 题#22
完整试卷
第 24 题#24

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