Question

Bernardo 选择一个三位正整数 $N$ ，并把它以 $5$ 为底和以 $6$ 为底的表示都写在黑板上。后来 LeRoy 看到了 Bernardo 写的两个数。他把这两个表示当作以 $10$ 为底的整数相加，得到整数 $S$ 。例如，若 $N = 749$ ，Bernardo 写下 $10{,}444$ 和 $3{,}245$ ，LeRoy 得到 $S = 13{,}689$ 。有多少个 $N$ 使得 $S$ 最右边两位数字按顺序与 $2N$ 的最右边两位数字相同？

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base- $5$ and base- $6$ representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base- $10$ integers, he adds them to obtain an integer $S.$ For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10{,}444$ and $3{,}245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13{,}689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

答案：E

知识点：进制模运算分类讨论

难度评级：2510

小提示：

因为 $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900$ ，条件只取决于 $N \bmod 900$ ，所以可令 $N$ 从 $0$ 到 $899$ 变化。

Since $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,$ the condition depends only on $N \bmod 900,$ so let $N$ range from $0$ to $899$

大提示：

匹配个位会迫使 $5$ 进制和 $6$ 进制的个位数字相等；再模 $100$ 处理可确定允许的末两位数字对。

Matching last digits forces the base- $5$ and base- $6$ units digits equal; working modulo $100$ pins down the allowed last-two-digit pairs

解答：

因为 $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900$ ，关于 $N$ 的条件只取决于 $N \bmod 900$ ，所以考虑 $0 \le N \le 899$ 。设以 $5$ 为底的表示的末两位为 $a_1, a_0$ ，以 $6$ 为底的表示的末两位为 $b_1,b_0$ 。模 $10$ 时，所要求的相等以及 $N\equiv a_0\pmod5$ 迫使 $a_0=b_0$ 。再对模 $25$ 和 $36$ 应用中国剩余定理，得到 $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900} \end{aligned}\text{。}$ 把这个余数的两倍模 $100$ 与十进制数 $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ 比较，可化简为 $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ 。因此有效的数对恰好是 $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ 。每一对都可与 $5$ 种 $a_0$ 的取法 $(0 \le a_0 \le 4)$ 结合，共给出 $25$ 个 $N$ 。所以正确答案是 E。

Because $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,$ the condition on $N$ depends only on $N \bmod 900,$ so consider $0 \le N \le 899.$ Let the last two base- $5$ digits be $a_1, a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1,b_0.$ Modulo $10,$ the desired equality and $N\equiv a_0\pmod5$ force $a_0=b_0.$ The Chinese Remainder Theorem applied modulo $25$ and $36$ then gives $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}$ Comparing twice this residue modulo $100$ with the decimal number $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}.$ Hence the valid pairs are exactly $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).$ Each combines with $5$ choices of $a_0$ $(0 \le a_0 \le 4),$ giving $25$ values of $N.$ Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12B 第 23 题

答案：E

难度评级：2510

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题