Question

在三角形 $ABC$ 中， $CD$ 是 $AB$ 边上的高， $AE$ 是 $BC$ 边上的高。若 $AB$ 、 $CD$ 和 $AE$ 的长度已知，则 $DB$ 的长度：

In triangle $ABC,$ $CD$ is the altitude to $AB$ and $AE$ is the altitude to $BC.$ If the lengths of $AB,$ $CD,$ and $AE$ are known, the length of $DB$ is:

无法由所给信息确定

not determined by the information given

仅当 $A$ 为锐角时才能确定

determined only if $A$ is an acute angle

仅当 $B$ 为锐角时才能确定

determined only if $B$ is an acute angle

仅当 $ABC$ 为锐角三角形时才能确定

determined only if $ABC$ is an acute triangle

以上说法均不正确

none of these is correct

答案：E

知识点：三角形面积高线勾股定理

难度评级：1570

小提示：

利用两条已知的高，以两种方式计算三角形的面积

Compute the triangle’s area in two ways using the two known altitudes

大提示：

求出 $BC$ 后，利用直角三角形 $BCD$

After finding $BC,$ use right triangle $BCD$

解答：

设 $AB=c$ 、 $CD=h$ ，且 $AE=e$ 。令两个面积公式相等，得到 $\frac12ch=\frac12(BC)e\text{，}$ 所以 $BC=\frac{ch}{e}$ 。由于三角形 $BCD$ 在 $D$ 处为直角， $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}\text{。}$ 无论原三角形是锐角、直角还是钝角三角形，这都能确定 $DB$ ，所以前四个选项均不正确。

所以正确答案是 E。

Let $AB=c,$ $CD=h,$ and $AE=e.$ Equating two area formulas gives $\frac12ch=\frac12(BC)e,$ so $BC=\frac{ch}{e}.$ Since triangle $BCD$ is right at $D,$ $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.$ This determines $DB$ whether the original triangle is acute, right, or obtuse, so none of the first four choices is correct.

Thus, the correct answer is E.

1962 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题