Question

正四面体的顶点为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ ，每条棱的长度都是一。点 $P$ 位于棱 $AB$ 上，点 $Q$ 位于棱 $CD$ 上。求 $P$ 与 $Q$ 之间距离的最小可能值。

The edges of a regular tetrahedron with vertices $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ each have length one. Find the least possible distance between a pair of points $P$ and $Q,$ where $P$ is on edge $AB$ and $Q$ is on edge $CD.$

$\frac12$

$\frac34$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{3}$

答案：C

知识点：立体几何距离公式最优化

难度评级：2100

小提示：

用顶点为 $(\pm1,\pm1,\pm1)$ 的对称坐标表示正四面体

Use symmetric coordinates for a regular tetrahedron with vertices $(\pm1,\pm1,\pm1)$

大提示：

参数化两条对棱上的点，并使距离的平方最小

Parameterize points on the two opposite edges and minimize the squared distance

解答：

缩放之前，取 $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1) \end{aligned}\text{。}$ 这些棱的长度为 $2\sqrt2$ ，所以按比例因子 $\frac{1}{2\sqrt2}$ 缩放。 $AB$ 和 $CD$ 上的点可分别写成 $P=(1,t,t)$ 和 $Q=(-1,u,-u)$ 。缩放前， $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2 \end{aligned}\text{，}$ 在 $t=u=0$ 时取最小值。缩放后，最小距离的平方为 $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ，所以距离为 $\frac{\sqrt2}{2}$ 。

因此，正确答案是 C。

Before scaling, take $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}$ These edges have length $2\sqrt2,$ so scale by $\frac{1}{2\sqrt2}.$ Points on $AB$ and $CD$ have forms $P=(1,t,t)$ and $Q=(-1,u,-u).$ Before scaling, $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}$ minimized at $t=u=0.$ After scaling, the minimum squared distance is $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so the distance is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题