Question

设 $\begin{aligned} N={}&69^5+5\cdot69^4+10\cdot69^3\\ &{}+10\cdot69^2+5\cdot69+1 \end{aligned}\text{。}$ $N$ 有多少个正因数？

Let $\begin{aligned} N={}&69^5+5\cdot69^4+10\cdot69^3\\ &{}+10\cdot69^2+5\cdot69+1. \end{aligned}$ How many positive integers are factors of $N?$

$3$

$5$

$69$

$125$

$216$

答案：E

知识点：二项式定理质因数分解 divisor count

难度评级：1890

小提示：

识别系数 $1,5,10,10,5,1$

Recognize the coefficients $1,5,10,10,5,1$

大提示：

使用二项式定理后，将所得的底数分解为质因数

After using the binomial theorem, factor the resulting base into primes

解答：

由二项式定理， $\begin{aligned} N&=(69+1)^5=70^5\\ &=2^5\cdot5^5\cdot7^5 \end{aligned}\text{。}$ 构造一个因数时，可以分别为这三个质因数选择从 $0$ 到 $5$ 的指数。因此， $N$ 有 $6^3=216$ 个正因数。

因此正确答案是 E。

By the binomial theorem, $\begin{aligned} N&=(69+1)^5=70^5\\ &=2^5\cdot5^5\cdot7^5. \end{aligned}$ A divisor independently chooses an exponent from $0$ through $5$ for each of the three primes. Thus $N$ has $6^3=216$ positive divisors.

Therefore the correct answer is E.

1986 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题