Question

设 $p(x)=x^2+bx+c$ ，其中 $b$ 和 $c$ 均为整数。若 $p(x)$ 同时是下列两个多项式的因式：

$x^4+6x^2+25$

以及

$3x^4+4x^2+28x+5\text{，}$ 那么 $p(1)$ 等于多少？

Let $p(x)=x^2+bx+c,$ where $b$ and $c$ are integers. If $p(x)$ is a factor of both

$x^4+6x^2+25$

and

$3x^4+4x^2+28x+5,$ what is $p(1)?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

答案：D

知识点：polynomial factor linear combination Gauss lemma

难度评级：2200

小提示：

公因式必定整除这两个多项式的任意整数线性组合

A common factor divides every integer linear combination of the two polynomials

大提示：

用第一个多项式的三倍减去第二个多项式

Subtract the second polynomial from three times the first

解答：

公因式 $p(x)$ 整除 $\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5) \end{aligned}\text{。}$ 由于 $p(x)$ 是整系数首一多项式，由高斯引理可知它整除 $x^2-2x+5$ 。这两个多项式都是同次的首一多项式，所以 $p(x)=x^2-2x+5$ 。因此 $p(1)=1-2+5=4$ 。

因此正确答案是 D。

The common factor $p(x)$ divides $\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}$ Because $p(x)$ is monic with integer coefficients, Gauss’s lemma implies that it divides $x^2-2x+5.$ The two polynomials are monic and have the same degree, so $p(x)=x^2-2x+5.$ Hence $p(1)=1-2+5=4.$

Thus the correct answer is D.

1986 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题