Question

若 $a$ 和 $b$ 为正实数，且下列两个方程 $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ 都有实根，则 $a+b$ 的最小可能值为

If $a$ and $b$ are positive real numbers and each of the equations $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ has real roots, then the smallest possible value of $a+b$ is

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：E

知识点：二次方程不等式

难度评级：2240

小提示：

要求两个二次方程的判别式都非负

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

大提示：

结合 $a^2\ge8b$ 和 $b^2\ge a$ ，限定 $a$ 和 $b$ 的范围

Combine $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a$ to bound $a$ and $b$

解答：

两个判别式给出 $a^2\ge8b$ 和 $b^2\ge a$ 。因此 $a^4\ge64b^2\ge64a\text{。}$ 由于 $a\gt0$ ，可得 $a\ge4$ ；进而由 $b^2\ge a\ge4$ 得 $b\ge2$ 。所以 $a+b\ge6$ 。当 $a=4,b=2$ 时取等号，此时两个判别式都为零。

所以正确答案是 E。

The two discriminants give $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a.$ Therefore $a^4\ge64b^2\ge64a.$ Since $a\gt0,$ this yields $a\ge4,$ and then $b^2\ge a\ge4$ gives $b\ge2.$ Thus $a+b\ge6.$ Equality occurs at $a=4,b=2,$ for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.

1984 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：2240

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题